评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答给出了两次识别结果。第一次识别结果中，被积函数写成了 \(\frac{x^{2}(x - y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}\)，这与原题 \(\frac{(x-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}\) 不符，属于关键性错误。但第二次识别结果中，被积函数写成了 \(\frac{x^{2}(x - y)}{x^{2}+y^{2}}\)，同样与原题不符。然而，在后续的计算过程中，学生实际使用的被积函数变换为 \((\cos\theta-\sin\theta)^2 r\)，这与原题在极坐标下的正确形式 \((\cos\theta-\sin\theta)^2 r\) 完全一致。因此，开头的被积函数书写错误很可能是识别错误（误写），而核心计算逻辑使用的是正确的被积函数。

在区域划分和计算步骤上，第二次识别结果与标准答案基本一致：正确地将区域分为 \(D_1\) 和 \(D_2\)，正确应用极坐标变换，正确计算两个部分的积分。虽然在 \(D_2\) 的边界描述中，第二次识别写成了 \(r \leq \frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}\)（标准答案为 \(r \leq \frac{2}{\sin\theta-\cos\theta}\)），但在后续代入计算时，内层积分上限实际使用了 \(\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}\)，并得到了 \(\frac{2}{(\sin\theta+\cos\theta)^2}\)。随后通过变量代换 \(t=\theta-\frac{\pi}{2}\)，巧妙地得出 \((\cos\theta-\sin\theta)^2\) 与 \((\sin\theta+\cos\theta)^2\) 在积分区间上相等，从而积分值为 \(\pi\)。此方法与标准答案不同（标准答案直接利用 \((\cos\theta-\sin\theta)^2 = (\sin\theta-\cos\theta)^2\) 进行约简），但思路正确且计算结果一致。

最终计算结果为 \(2\pi-2\)，与标准答案一致。

综上，尽管在表达式书写上存在因识别可能导致的偏差，但核心解题思路、区域处理、积分计算过程均正确，且得到了正确结果。根据评分原则，对于识别错误导致的...