评分及理由

（1）必要性证明部分得分及理由（满分6分）

学生给出了必要性的证明，即假设 \(f''(x) \ge 0\)，推导出不等式 \(f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx\)。其思路与标准答案法一一致：利用泰勒展开，积分后利用对称性消去一阶项，并由 \(f''(\xi) \ge 0\) 得到结论。证明过程基本正确，逻辑清晰。

但存在一处表述瑕疵：在泰勒展开式中，\(\xi\) 介于 \(x\) 与展开点之间，但学生写作“\(\xi \in [x, \frac{a+b}{2})\)”或“\(\xi \in [x, \frac{a+b}{2}]\)”，区间写法不够准确（应为“介于两者之间”），但鉴于核心推导无误，且对积分结果无实质影响，此处不扣分。

该部分可得满分6分。

（2）充分性证明部分得分及理由（满分6分）

学生试图用反证法证明充分性：假设存在 \(x_0\) 使 \(f''(x_0) < 0\)，推出矛盾。思路与标准答案一致。

然而，在具体表述中存在严重逻辑混乱：

1. 一开始将待证结论误写为“要证 \(f(x) \ge 0\)”（应为 \(f''(x) \ge 0\)），随后又写“设存在 \(x_0\) 使 \(f(x_0) < 0\)”或“设存在 \(x_0\) 使 \(f'(x_0) < 0\)”（两次识别结果不一致），与证明目标不符。这属于对命题对象的混淆，是实质性逻辑错误。
2. 在反证法假设中，应假设“存在 \(x_0\) 使 \(f''(x_0) < 0\)”，并利用二阶导连续性得到该点附近 \(f''(x) < 0\)。但学生表述为“因为 \(\lim_{x \to x_0} f'(x) = f'(x_0) < 0\)，故在 \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) 上存在一点有 \(f'(x) < 0\)”或类似，这里混淆了一阶导和二阶导，且极限推导理由不成立（由一点导数小于0不能直接推出邻域内存在点导数小于0，需用连续性，但对象应是二阶导）。
3. 后续虽然写到“取 \([a_0, b_0] \subset (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\)，\(f''(x) < 0\)”并进行了泰勒展开积分，得到与已知不等式矛盾的结论，但因其初始假设和推导前提存在根本性错误，整个反证法的逻辑链条不严谨。

由于充分性证明部分存在核心概念混淆和逻辑推导错误，该部分不能给满分。考虑到其反证法框架和最后矛盾结论的指向基本正确，但关键步骤有误，扣去3分。

该部分得3分。

题目总分：6+3=9分