评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确写出了二次型的矩阵 \(A\)，并计算了特征多项式，得到特征值 \(\lambda = 2,4,4\)。对于特征向量，当 \(\lambda = 2\) 时得到 \(\alpha_1 = (1,0,-1)^T\)，当 \(\lambda = 4\) 时得到 \(\alpha_2 = (1,0,1)^T\) 和 \(\alpha_3 = (0,1,0)^T\)。这些特征向量已经正交，单位化后得到 \(\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T\)，\(\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)^T\)，\(\gamma_3 = (0,1,0)^T\)。构造的正交矩阵 \(Q\) 正确，且通过正交变换得到的标准形为 \(2y_1^2 + 4y_2^2 + 4y_3^2\)。整个求解过程逻辑清晰，计算正确。因此，第（1）问得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生利用第（1）问的结果，将问题转化为求 \(\frac{y^T D y}{y^T y}\) 的最小值，其中 \(D = \text{diag}(2,4,4)\)。表达式为 \(\frac{2y_1^2 + 4y_2^2 + 4y_3^2}{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2}\)。学生通过变形得到 \(2 + \frac{2y_2^2 + 2y_3^2}{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2} \geq 2\)，并指出最小值在 \(y_2 = y_3 = 0\) 时达到（尽管未明确写出取等条件，但不等式已表明下界为2，且标准形中系数2是最小特征值，因此结论正确）。思路和计算均正确，因此第（2）问得满分6分。

题目总分：6+6=12分