评分及理由

（1）求函数 \( f(x,y) \) 部分（满分6分）

学生作答中，第一次识别结果在推导 \( f(x,y) \) 时出现了逻辑错误：由 \( f_x' = -2xe^{-y} \) 积分得到 \( f = -x^2 e^{-y} + \varphi(y) \) 是正确的，但接下来写 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + (y+2)e^{-y} + g(x) \) 这一步是混乱的，因为已经含有 \( \varphi(y) \) 后又引入 \( g(x) \)，不过随后又写成 \( -x^2 e^{-y} + (y+2)e^{-y} + C \) 并利用 \( f(0,0)=2 \) 得到 \( C=0 \)，最终得到正确结果 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + (y+2)e^{-y} \)。第二次识别结果中，对 \( y \) 积分时写为 \( f = -x^2 e^{-y} - (y+2)e^{-y} + g(x) \) 符号有误，但随后“综合可得”时又写成了正确的表达式并代入条件得到 \( C=0 \)，最终结果正确。

虽然过程中有表述混乱和符号错误，但最终函数表达式正确，且利用了初始条件确定常数。根据“思路正确不扣分”以及“对于识别中可能出现的误写不扣分”的原则，主要看最终结果是否正确。此处最终 \( f(x,y) \) 正确，应给予满分。

得分：6分

（2）求极值部分（满分6分）

学生正确求出偏导数并令其为0得到驻点 \( (0,-1) \)。在计算二阶偏导数时，第一次识别结果中 \( f_{yy}'' = e^{-y}(y-2-x^2) \) 是错误的（正确应为 \( e^{-y}(x^2 - y) \)），但第二次识别结果中同样写为 \( e^{-y}(y-2-x^2) \)，这也是错误的。然而，在具体代入驻点 \( (0,-1) \) 计算 \( A, B, C \) 时，第一次识别写 \( C<0 \) 但未给出具体值，第二次识别中计算 \( C = e^{-(-1)}(-1-2-0^2) = -3e \)，这里代入的是自己错误的二阶导数公式，但巧合的是，代入 \( x=0, y=-1 \) 到错误公式 \( e^{-y}(y-2-x^2) \) 得到 \( e^{1}(-1-2-0) = -3e \)，而实际上正确的 \( C \) 值应为 \( e^{1}(0^2 - (-1)) = e \cdot 1 = e \)，因此学生计算的 \( C \) 值错误。

尽管 \( C \) 算错，但学生计算 \( AC-B^2 = (-2e)\times(-3e) - 0 = 6e^2 > 0 \) 且 \( A<0 \)，从而得出极大值的结论，并计算极大值 \( f(0,-1) = e \) 正确。这里存在逻辑错误：二阶导数 \( C \) 算错导致判别式 \( AC-B^2 \) 的值错误（正确应为 \( (-2e)\cdot e - 0 = -2e^2 < 0 \)，实际上该点不是极值点，标准答案有误？我们需以标准答案为参照）。

检查标准答案：标准答案中 \( A = -2e, B=0, C = -e \)，则 \( AC-B^2 = 2e^2 > 0, A<0 \)，故有极大值。学生第二次识别中 \( C = -3e \)，导致 \( AC-B^2 = 6e^2 > 0 \)，虽然数值错误但...