评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生正确识别了积分区域关于直线 \(y = x\) 对称，并利用对称性将二重积分转化为在部分区域上积分的两倍。在极坐标变换中，学生正确写出了被积函数 \((x-y)^2 = r^2(\cos\theta - \sin\theta)^2\)，并尝试进行积分计算。然而，学生在确定极坐标下半径 \(r\) 的范围时出现了错误：在区域 \(D_1\)（或对称部分）中，\(r\) 的上限应为 \(4\sin\theta\) 还是 \(4\cos\theta\) 需要根据具体区域边界确定。从标准答案可知，在 \(0 \le \theta \le \pi/4\) 时，边界圆的极坐标方程是 \(r = 4\sin\theta\)（对应圆 \(x^2+(y-2)^2=4\)）还是 \(r = 4\cos\theta\)（对应圆 \((x-2)^2+y^2=4\)）？实际上，在 \(D_1\) 部分（\(y \le x\) 且属于圆 \(x^2+(y-2)^2 \le 4\)）时，极坐标下 \(r \le 4\sin\theta\) 是正确的（因为该圆极坐标方程为 \(r = 4\sin\theta\)）。但学生后续计算积分时，在化简、积分运算过程中出现了代数错误，导致最终结果 \(12\pi - \frac{112}{3}\) 与正确答案 \(12\pi - \frac{16}{3}\) 不符。因此，思路前半部分正确，但计算过程存在错误，且最终答案错误。

扣分情况：

• 思路正确（对称性、极坐标变换）不扣分。
• 计算错误导致结果不正确，扣除结果分。本题满分12分，计算错误通常扣4-6分（视错误严重程度）。此处错误出现在积分运算环节，且最终答案偏差较大，扣5分。
• 因此，本题得分：12 - 5 = 7分。

题目总分：7分