评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“0”。

标准答案为“2”。

我们分析题目：极限 \(\lim\limits _{x\to 0}\frac {|x|^{x+2}}{\sqrt {1+x^{2}}-1}\)。

首先，分母 \(\sqrt{1+x^2}-1 \sim \frac{1}{2}x^2\) (当 \(x \to 0\) 时)。

其次，分子 \(|x|^{x+2} = e^{(x+2)\ln|x|}\)。当 \(x \to 0\) 时，\(\ln|x| \to -\infty\)，但 \(x+2 \to 2\)，所以 \((x+2)\ln|x| \to -\infty\)，因此 \(|x|^{x+2} \to 0\)。这是一个“\(0\)”型极限。

使用等价无穷小替换分母：\(\sqrt{1+x^2}-1 \sim \frac{x^2}{2}\)。

则原极限化为 \(\lim\limits _{x\to 0}\frac {|x|^{x+2}}{x^2/2} = 2 \lim\limits _{x\to 0} |x|^{x+2} \cdot |x|^{-2} = 2 \lim\limits _{x\to 0} |x|^{x}\)。

而 \(\lim\limits _{x\to 0} |x|^{x} = \lim\limits _{x\to 0} e^{x\ln|x|} = e^{\lim\limits_{x\to 0} x\ln|x|} = e^{0} = 1\)。

因此，极限值为 \(2 \times 1 = 2\)。

学生答案“0”是错误的，可能是误认为分子趋于0的速度比分母快，或者计算了 \(\lim\limits _{x\to 0} |x|^{x+2} = 0\) 但忽略了分母也是无穷小量。

根据评分规则，本题为填空题，答案错误则得0分。

本题得分：0分。

题目总分：0分