评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“a＞=1”，即 \( a \geq 1 \)。

题目要求 \( e^{ax} \geq 1+x \) 对任意实数 \( x \) 均成立。这是一个关于指数函数与线性函数的不等式恒成立问题。

标准答案是 \( a = 1 \)。分析如下：

1. 令 \( f(x) = e^{ax} - (1+x) \)，则需 \( f(x) \geq 0 \) 对所有 \( x \in \mathbb{R} \) 成立。
2. 考虑 \( x=0 \) 时，不等式化为 \( 1 \geq 1 \)，恒成立，不提供约束。
3. 考虑函数在 \( x=0 \) 处的性质。由于 \( f(0) = 0 \)，要使 \( f(x) \geq 0 \) 恒成立，\( x=0 \) 必须是 \( f(x) \) 的一个极小值点或最小值点。这要求 \( f'(0) = 0 \)。
   • 计算 \( f'(x) = a e^{ax} - 1 \)。
   • 代入 \( x=0 \) 得 \( f'(0) = a - 1 \)。
   • 由 \( f'(0) = 0 \) 得 \( a = 1 \)。
4. 当 \( a = 1 \) 时，\( f(x) = e^{x} - 1 - x \)。可以证明 \( f''(x) = e^{x} > 0 \)，故 \( f(x) \) 是凸函数，且 \( f(0)=0, f'(0)=0 \)，因此 \( x=0 \) 是全局极小值点，\( f(x) \geq 0 \) 恒成立。
5. 若 \( a > 1 \)，考虑 \( x \to -\infty \) 时，\( e^{ax} \to 0 \)，而 \( 1+x \to -\infty \)，因此 \( e^{ax} > 1+x \) 显然成立。但问题在于 \( x \) 为负且绝对值较大时，\( 1+x \) 为很大的负数，不等式似乎成立。然而，需要检查所有 \( x \)。例如，取 \( a=2 \)，考虑 \( x = -1 \)：\( e^{-2} \approx 0.135 \)，而 \( 1+(-1)=0 \)，不等式 \( 0.135 \geq 0 \) 成立。但关键在于，当 \( a > 1 \) 时，\( f'(0) = a-1 > 0 \)，这意味着在 \( ...