评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为 \(\pi\)，而标准答案为 \(2\pi\)。该题目要求计算平面无界区域 \(D=\{(x,y)\vert (1+{x}^{2})\vert y\vert \leqslant 1\}\) 的面积。该区域关于 \(x\) 轴对称，可先计算 \(y \ge 0\) 部分的面积再乘以2。

对于 \(y \ge 0\)，区域由 \(0 \le y \le \frac{1}{1+x^2}\) 描述。其面积为 \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \left.\arctan x\right|_{-\infty}^{+\infty} = \pi\)。因此，整个区域面积为 \(2 \times \pi = 2\pi\)。

学生答案 \(\pi\) 仅为上半平面部分的面积，遗漏了乘以2的步骤，属于计算不完整或概念错误（忽略了绝对值 \(|y|\) 意味着上下对称）。因此，答案错误。

根据评分规则（正确给5分，错误给0分，禁止给步骤分），本题得分为0分。

题目总分：0分