评分及理由

（1）求函数 \( f(x,y) \) 的表达式（满分6分）

学生正确写出 \(\frac{\partial f}{\partial x} = -2xe^{-y}\)，并通过积分得到 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + C(y) \)。随后利用 \(\frac{\partial f}{\partial y} = e^{-y}(x^2 - y - 1)\) 求出 \( C'(y) = -(y+1)e^{-y} \)，积分得到 \( C(y) = (y+2)e^{-y} + C \)。最后利用初始条件 \( f(0,0)=2 \) 确定常数 \( C=0 \)，得到最终结果 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + (y+2)e^{-y} \)。整个过程思路清晰，计算正确，与标准答案一致。因此得6分。

（2）求函数 \( f(x,y) \) 的极值（满分6分）

学生正确求出偏导数并令其为零得到驻点 \((0, -1)\)。计算二阶偏导数 \( f_{xx} = -2e^{-y} \)，\( f_{xy} = 2xe^{-y} \)，\( f_{yy} = -e^{-y}(x^2 - y) \)（注：此处学生写为 \( f_{yy} = -e^{-y}(x^2 - y) \)，与标准答案 \( f_{yy} = e^{-y}(x^2 - y) \) 差一个负号，但在后续代入驻点 \((0,-1)\) 时，计算得到 \( C = f_{yy}(0,-1) = -e \)，这与标准答案中 \( C = -e \) 一致，因此该处书写差异不影响最终结果，可能是识别或书写笔误，根据“误写不扣分”原则，不扣分）。随后计算判别式 \( AC - B^2 = 2e^2 > 0 \) 且 \( A < 0 \)，判定在 \((0,-1)\) 处取得极大值 \( f(0,-1) = e \)。整个过程逻辑正确，结果无误。因此得6分。

题目总分：6+6=12分