评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，通过秩相等得到 \(a=4\) 和 \(k \neq 0\)，但未说明 \(k>0\) 的原因（合同要求正惯性指数相同，B的正惯性指数为2，所以k必须为正数）。此外，学生未明确给出k的取值范围，只说了 \(k \neq 0\)，这是不完整的。因此扣2分。

得分：4分（满分6分）

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确求出 \(k=3\)，并计算了特征值与特征向量。但在特征向量的具体结果和单位化后的正交矩阵Q的列向量顺序上，两次识别结果与标准答案不完全一致（例如 \(\xi_2\) 和 \(\xi_3\) 的分量有差异，且列顺序不同）。由于正交矩阵的列可以按对应特征值顺序排列，且特征向量的选取可以不同（只要构成正交基），因此只要Q是正交矩阵且满足 \(Q^T A Q = B\) 即可。但学生给出的Q在两次识别中都与标准答案不同，且未验证是否正交（但根据特征向量计算过程，应能构成正交基）。考虑到计算过程基本正确，但最终Q的列向量与标准答案不完全一致，可能因计算或识别误差导致，根据“误写不扣分”原则，不因此扣分。但学生未明确说明Q的列与B对角元顺序的对应关系，且第二次识别中矩阵写为 \(Q=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\) 但实际列顺序与标准答案不同，这里存在表述不严谨，扣1分。

得分：5分（满分6分）

题目总分：4+5=9分