评分及理由

本题满分10分，分为两个主要部分：收敛域的求解（约4分）与和函数的求解（约6分）。

（1）收敛域部分得分及理由（满分约4分）

学生答案：

• 正确计算了比值极限 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right| = x^2\)。
• 正确得出当 \(|x| < 1\) 时级数收敛，当 \(|x| > 1\) 时级数发散。
• 正确讨论了端点 \(x = \pm 1\) 的情况，指出此时级数为 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\)，并应用莱布尼茨判别法判断其收敛。
• 最终得出收敛域为 \([-1, 1]\)。

学生的解答过程与标准答案完全一致，逻辑清晰，计算正确。因此，收敛域部分给满分。

得分：4分

（2）和函数部分得分及理由（满分约6分）

学生答案：

• 正确地将和函数写为 \(S(x) = x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1} = x S_1(x)\)。
• 正确地对 \(S_1(x)\) 进行逐项求导，得到 \(S_1'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} x^{2n-2} = \frac{1}{1+x^2}\)。
• 正确地对 \(S_1'(x)\) 从0到x积分，并利用 \(S_1(0)=0\) 的条件，得到 \(S_1(x) = \arctan x\)。
• 最终得出和函数 \(S(x) = x \arctan x\)，并隐含了定义域为收敛域 \([-1, 1]\)。

学生的解答过程与标准答案完全一致，步骤完整，推导正确。因此，和函数部分给满分。

得分：6分

题目总分：4+6=10分