评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

本题要求求解常数 \(a_1, a_2, a_3\) 使 \(T\) 为 \(\theta\) 的无偏估计，并求 \(T\) 的方差。学生作答整体思路正确，关键步骤与标准答案一致，但在细节表达和符号使用上存在一些瑕疵。

具体分析：

• 学生正确识别了 \(N_1, N_2, N_3\) 分别服从二项分布，并正确给出了期望 \(E N_i\)。
• 在计算 \(E(T)\) 并令其等于 \(\theta\) 以解出 \(a_i\) 时，学生的展开和整理过程正确。但在第一次识别结果中写有“\(\because E(\overline{T})=\theta\)”，这里符号 \(\overline{T}\) 应为 \(T\)，属于笔误，不影响核心逻辑。第二次识别结果中写为“\(\because E(T) = 0\)”，这明显是识别错误（应为 \(E(T)=\theta\)），但根据其后续解出的 \(a_i\) 与标准答案一致，且上下文连贯，可判断为识别错误而非逻辑错误，不扣分。
• 学生解出的结果为 \(a_1=0, a_2=1/n, a_3=1/n\)，与标准答案一致。
• 在表达 \(T\) 时，第一次识别结果为 \(T=\frac{n - N_{1}}{n}\)，第二次识别结果为 \(T=n - N_1\)（这显然是识别错误，因为前面有 \(T=\frac{1}{n}N_2+\frac{1}{n}N_3\)，结合 \(N_1+N_2+N_3=n\)，应为 \(T=1-\frac{N_1}{n}\)）。由于两次识别中至少有一次正确（第一次正确），且最终方差计算基于正确的 \(T=1-\frac{N_1}{n}\)，因此不扣分。
• 方差计算过程正确，结果 \(\frac{\theta(1-\theta)}{n}\) 与标准答案一致。

综上，学生答案核心逻辑、关键计算和最终结果均正确。虽有少量笔误或识别错误，但根据“禁止扣分”原则，这些不影响逻辑的误写不扣分。因此本题给满分。

得分：11分

题目总分：11分