评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分4分）

学生正确证明了 \(F(t+T)=F(t)\)，并指出 \(F(t)\) 是以 \(T\) 为周期的连续函数。证明过程与标准答案一致，逻辑清晰。因此得满分 4 分。

（Ⅱ）得分及理由（满分4分）

学生的思路是令 \(x=nT\) 并利用周期函数的积分性质，但证明不完整。在标准答案中，利用（Ⅰ）中构造的有界周期函数 \(F(t)\) 得到 \(\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}{x}=0\)，从而直接推出结论。学生试图用夹逼定理，但夹逼不等式的书写有误（例如“当 \(x \leq nT\) 时”应为考虑 \(nT \leq x < (n+1)T\) 的情形），且夹逼的左右极限计算不严谨。此外，学生未说明 \(f\) 连续且周期，因此积分可加性成立，但证明框架基本正确，主要思路正确但细节有瑕疵。扣 1 分。得 3 分。

（Ⅲ）得分及理由（满分4分）

学生直接写出 \(\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{x}{T}\int_0^T \frac{\sin^2 t}{1+\cos^4 t}dt}{\frac{x}{T}\int_0^T \frac{1}{1+\cos^4 t}dt}\)，这隐含了将积分区间按周期分段并取平均的思想，但这里有两个问题：
1. 被积函数 \(\frac{\sin^2 t}{1+\cos^4 t}\) 和 \(\frac{1}{1+\cos^4 t}\) 的周期是 \(\pi\)，不是任意 \(T\)，学生未指出周期具体值，也未计算积分值。
2. 分母中误写为 \(\cos^4 t\)（应为 \(\cos^2 t\)），这可能是识别错误，但即使按 \(\cos^4 t\) 计算，未给出积分结果，也未完成极限值的计算。
因此，该部分解答不完整，没有最终结果，且关键步骤有误（被积函数写错）。扣 2 分。得 2 分。

题目总分：4+3+2=9分