评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生只证明了第（Ⅰ）问，但证明过程存在逻辑错误。学生试图利用奇函数性质和积分条件推导出 \( f(a)=0 \)，进而得到 \( F(a)=0 \)，然后应用罗尔定理。然而，从 \(\int_{-a}^{0} f(x) dx = \frac{1}{2}a^2 f(a)\) 和奇函数性质（\(\int_{-a}^{0} f(x) dx = -\int_{0}^{a} f(x) dx\)）确实可以推出 \(\frac{1}{2}a^2 f(a) = -\frac{1}{2}a^2 f(a)\)，从而 \(f(a)=0\)。但题目给出的条件是 \(\int_{0}^{a} f(x) dx = \frac{1}{2}a^2 f(a)\)，学生将其错误地用于推导 \(\int_{-a}^{0} f(x) dx\)，逻辑上不严谨且绕过了题目设定的辅助函数构造和积分中值定理的应用思路。虽然最终得到了 \(f(a)=0\) 和 \(F(a)=0\)，并应用罗尔定理得出 \(f'(\xi)=f(a)=0\)，这与结论 \(f'(\xi)=f(a)\) 在 \(f(a)=0\) 时形式上一致，但证明方法偏离了标准答案的核心思想（利用积分中值定理和 \(F(x)\) 的零点分布），且关键步骤（从给定积分条件推导 \(f(a)=0\)）的推理链条存在跳跃和错误应用（错误地将条件用于对称区间）。因此，不能给满分。考虑到学生正确构造了 \(F(x)\)，并试图应用罗尔定理，但主要逻辑推理有缺陷，扣3分。

得分：3分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生没有对第（Ⅱ）问进行任何证明或讨论，因此得0分。

得分：0分

题目总分：3+0=3分