2026年李林冲刺预测6套卷（一） - 第11题回答

好的，我们先逐步分析题目并评判学生的作答。 --- **题目分析** 已知： 1. \( f(x) \) 连续，且 \(\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = \frac{1}{e}\)。 2. 正数 \( a \) 满足 \[ \lim_{x\to\infty} \left( \cos\frac{a}{x} \right)^{x^2} = \lim_{x\to\infty} \int_x^{x+1} f(t) \, dt。 \] 求 \( a \)。 --- **第一步：计算右边极限** 由积分中值定理： \[ \int_x^{x+1} f(t) \, dt = f(\xi_x), \quad \xi_x \in (x, x+1)。 \] 当 \( x \to \infty \) 时，\(\xi_x \to \infty\)，且 \( f \) 连续，极限 \(\lim_{x\to\infty} f(x) = \frac{1}{e}\)，所以 \[ \lim_{x\to\infty} \int_x^{x+1} f(t) \, dt = \frac{1}{e}。 \] --- **第二步：计算左边极限** \[ L = \lim_{x\to\infty} \left( \cos\frac{a}{x} \right)^{x^2}。 \] 令 \( t = \frac{1}{x} \)，则 \( x \to \infty \) 时 \( t \to 0^+ \)， \[ L = \lim_{t \to 0^+} \left( \cos(at) \right)^{1/t^2}。 \] 取对数： \[ \ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(\cos(at))}{t^2}。 \] 用等价无穷小： \[ \cos(at) = 1 - \frac{a^2 t^2}{2} + o(t^2), \quad \ln(\cos(at)) = -\frac{a^2 t^2}{2} + o(t^2)。 \] 所以 \[ \ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{-\frac{a^2 t^2}{2} + o(t^2)...

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