2026年李林冲刺预测6套卷（一） - 第13题回答

好的，我们先一步步分析题目和学生作答。 --- ## 1. 题目分析 已知： - \( z = f(x, y) \) 可微。 - 曲面与 \( xOy \) 平面（\( z=0 \)）的交线为 \[ \begin{cases} y = \int_{0}^{x} (e^{-t^2} + \sin t^2) \, dt, \\ z = 0 \end{cases} \] 这意味着在交线上，\( z = f(x, y) = 0 \)，且 \( y = g(x) \)，其中 \[ g(x) = \int_{0}^{x} (e^{-t^2} + \sin t^2) \, dt. \] 所以 \( f(x, g(x)) = 0 \) 对所有 \( x \) 成立。 - 已知 \( f_x'(0,0) = 1 \)。 - 求 \( dz|_{(0,0)} \)。 --- ### 1.1 利用交线条件求 \( f_y'(0,0) \) 由 \( f(x, g(x)) = 0 \) 对 \( x \) 求导： \[ f_x(x, g(x)) + f_y(x, g(x)) \cdot g'(x) = 0. \] 其中 \[ g'(x) = e^{-x^2} + \sin(x^2). \] 当 \( x = 0 \) 时，\( g(0) = 0 \)，\( g'(0) = e^{0} + \sin 0 = 1 \)。 代入 \( x=0 \)： \[ f_x(0,0) + f_y(0,0) \cdot 1 = 0. \] 已知 \( f_x(0,0) = 1 \)，所以 \[ 1 + f_y(0,0) = 0 \quad \Rightarrow \quad f_y(0,0) = -1. \] --- ### 1.2 计算全微分 \[ dz|_{(0,0)} = f_x(0,0) \, dx + f_y(0,0) \, dy = 1 \cdot dx + (-1) \cdot dy = dx - dy. \] 标准答案：\( dx - dy \)。 --- ## 2. 学生作答分析 题目给出的学生作答部分： > 第1次识别结果： > > ...

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