评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“4”。

题目条件为：A是3阶矩阵，α为3维列向量，P=(α, Aα, A²α)可逆，B = P⁻¹AP，且满足 A³α + 2A²α = 3Aα。要求计算 tr(A+B)。

分析：由于P可逆，且B = P⁻¹AP，故A与B相似，从而 tr(A) = tr(B)。因此 tr(A+B) = tr(A) + tr(B) = 2 tr(A)。问题转化为求 tr(A)。

由已知条件 A³α + 2A²α = 3Aα，可写为 A³α = 3Aα - 2A²α。这表明在由α, Aα, A²α张成的循环子空间中，A³α可由Aα, A²α线性表示。因此，关于基向量组 (α, Aα, A²α)，线性变换A在此基下的矩阵表示（即B = P⁻¹AP）应具有友矩阵形式。具体地，设基为v₁=α, v₂=Aα, v₃=A²α，则：

Av₁ = Aα = v₂，
Av₂ = A²α = v₃，
Av₃ = A³α = 3Aα - 2A²α = 3v₂ - 2v₃。

因此，在基 (v₁, v₂, v₃) 下，A的表示矩阵（即B）为：

\[ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \]

注意：通常友矩阵形式为第一行为系数（常数项在最后一列），但这里我们直接按变换关系写出：

Av₁ = 0·v₁ + 1·v₂ + 0·v₃，
Av₂ = 0·v₁ + 0·v₂ + 1·v₃，
Av₃ = 0·v₁ + 3·v₂ + (-2)·v₃。

因此矩阵B（列向量为A作用在基向量上的坐标）为：

\[ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \]

于是 tr(B) = 0 + 0 + (-2) = -2。由于A与B相似，tr(A) = tr(B) = -2。

因此 tr(A+B) = 2 tr(A) = 2 × (-2) = -4。

学生答案为“4”，与标准答案“-4”符号相反，计算错误。根据题目要求，填空题只有完全正确才给分，错误则0分。因此本题得0分。

题目总分：0分