评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

学生答案中给出了方向余弦的计算，并正确列出了两个方向导数的方程：
① \(\frac{1}{\sqrt{2}}f_x + \frac{1}{\sqrt{2}}f_y = \sqrt{2}(x - xy^2 + 2y - x^2y)\)
② \(0 \cdot f_x + (-1) f_y = 2x^2y - 4y\)
从②解得 \(f_y = 4y - 2x^2y\)，代入①解得 \(f_x = 2x - 2xy^2\)，与标准答案一致。
在点 \(M(2,1)\) 处计算出 \(f_x=0, f_y=-4\)，并正确指出最大方向导数为梯度的模 \(\sqrt{0^2+(-4)^2}=4\)。
该部分解答完整、计算正确，得满分5分。

（Ⅱ）得分及理由（满分5分）

学生由偏导数写出全微分 \(df = (2x-2xy^2)dx + (4y-2x^2y)dy\)，并正确分组积分得到 \(f(x,y)=x^2+2y^2-x^2y^2+C\)。
利用条件 \(f(1,1)=2\) 求出 \(C=0\)，得到函数表达式 \(f(x,y)=x^2+2y^2-x^2y^2\)。
求偏导数为零得到驻点：\((0,0), (\pm\sqrt{2},1), (\pm\sqrt{2},-1)\)。
计算二阶偏导 \(A=f_{xx}=2-2y^2, B=f_{xy}=-4xy, C=f_{yy}=4-2x^2\)。
对 \((0,0)\)：\(A=2, B=0, C=4, AC-B^2=8>0, A>0\)，故 \(f(0,0)=0\) 为极小值。
对 \((\pm\sqrt{2},1)\) 和 \((\pm\sqrt{2},-1)\)：计算 \(AC-B^2<0\)，不是极值点。
该部分推导正确，结论完整，得满分5分。

题目总分：5+5=10分