评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案为 \(4x - y - 3 = 0\)。
首先，求解原函数 \(y = x^2 + 2\ln x\) 的拐点。定义域为 \(x > 0\)。
一阶导数：\(y' = 2x + \frac{2}{x}\)。
二阶导数：\(y'' = 2 - \frac{2}{x^2} = \frac{2(x^2 - 1)}{x^2}\)。
令 \(y'' = 0\)，得 \(x^2 - 1 = 0\)，解得 \(x = 1\)（舍去 \(x = -1\)，因为定义域要求 \(x > 0\)）。
当 \(x < 1\) 时，\(y'' < 0\)，曲线为凸；当 \(x > 1\) 时，\(y'' > 0\)，曲线为凹。因此 \(x = 1\) 是拐点。
拐点坐标为：当 \(x = 1\) 时，\(y = 1^2 + 2\ln 1 = 1\)，即拐点为 \((1, 1)\)。
在拐点处的切线斜率 \(k = y'(1) = 2 \times 1 + \frac{2}{1} = 4\)。
切线方程：\(y - 1 = 4(x - 1)\)，即 \(y = 4x - 3\)，或化为一般式 \(4x - y - 3 = 0\)。
学生答案 \(4x - y - 3 = 0\) 与标准答案 \(y = 4x - 3\) 等价，且计算过程正确，思路清晰，无逻辑错误。因此得满分4分。

题目总分：4分