评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是“1/2”。

本题要求计算隐函数 \( z = z(x, y) \) 在点 \((2, \frac{1}{2})\) 处关于 \( x \) 的偏导数 \(\frac{\partial z}{\partial x}\)。方程是 \(\ln z + e^{z-1} = xy\)。

标准解法：对原方程两边关于 \( x \) 求偏导（将 \( y \) 视为常数，\( z \) 视为 \( x, y \) 的函数），得到： \[ \frac{1}{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + e^{z-1} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = y \] 整理得： \[ \frac{\partial z}{\partial x} \left( \frac{1}{z} + e^{z-1} \right) = y \] 因此： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{\frac{1}{z} + e^{z-1}} \] 接下来需要求出在点 \((x, y) = (2, \frac{1}{2})\) 处对应的 \( z \) 值。将 \( x=2, y=\frac{1}{2} \) 代入原方程： \[ \ln z + e^{z-1} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \] 通过观察或验证可知，当 \( z=1 \) 时，左边为 \(\ln 1 + e^{0} = 0 + 1 = 1\)，满足方程。因此 \( z(2, \frac{1}{2}) = 1 \)。
将 \( y = \frac{1}{2}, z = 1 \) 代入偏导数公式： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{1} + e^{0}} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + 1} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} \] 所以标准答案是 \(\frac{1}{4}\)。

评分分析：学生答案“1/2”与标准答案“1/4”不一致。学生可能正确求出了偏导表达式 \(\fra...