评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答为“1”。

题目要求计算矩阵A的实特征值。根据已知条件，矩阵A在由线性无关向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 构成的基下的表示矩阵（即A在该基下的矩阵）为： \[ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \] 因为 \(A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)B\)。

矩阵A的特征值即为矩阵B的特征值。计算B的特征多项式： \[ \begin{aligned} |\lambda E - B| &= \begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-1 & 1 \\ -1 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix} \\ &= (\lambda-2) \begin{vmatrix} \lambda-1 & 1 \\ -2 & \lambda-1 \end{vmatrix} \\ &= (\lambda-2)[(\lambda-1)^2 + 2] \\ &= (\lambda-2)(\lambda^2 - 2\lambda + 3) \end{aligned} \] 令特征多项式为零：\((\lambda-2)(\lambda^2 - 2\lambda + 3) = 0\)。 解得特征值：\(\lambda_1 = 2\)，以及 \(\lambda_{2,3} = 1 \pm i\sqrt{2}\)（为一对共轭复根）。

因此，矩阵A的实特征值为2。学生作答“1”是错误的。

根据打分要求，本题为填空题，答案错误则得0分。

题目总分：0分