评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案为 \([2/e^2, +\infty)\)，即 \(\left[\frac{2}{e^2}, +\infty\right)\)。

标准答案为 \([4e^{-2}, +\infty)\)，即 \(\left[\frac{4}{e^2}, +\infty\right)\)。

学生的答案与标准答案在数值上不一致。题目要求 \(x^2 + y^2 \leq k e^{x+y}\) 对所有 \(x \geq 0, y \geq 0\) 恒成立，这等价于求 \(k\) 的最小值，使得 \(k \geq \frac{x^2+y^2}{e^{x+y}}\) 恒成立。通常的解法是考虑函数 \(f(t) = \frac{t^2}{e^t}\)（通过对称性分析或变量代换 \(t = x+y\) 等），其最大值在 \(t=2\) 处取得，为 \(\frac{4}{e^2}\)。因此 \(k\) 的最小值为 \(4e^{-2}\)。学生给出的 \(2e^{-2}\) 是错误的结果，可能是计算过程中出现了错误（例如误将 \(t^2/e^t\) 的极值点当成了 \(t=1\)，或者导数求错）。

由于答案错误，根据规则“正确则给5分，错误则给0分”，本题得分为0分。

题目总分：0分