评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“0”。

我们需要判断级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}e^{-nx}\) 的收敛域为 \((a, +\infty)\) 时的 \(a\) 值。

这是一个函数项级数，其通项为 \(u_n(x) = \frac{n!}{n^n} e^{-nx}\)。通常使用比值判别法（根值判别法亦可）判断其收敛性。考虑正项级数（对于给定的 \(x\)，若 \(e^{-nx}>0\)，则为正项级数）：

计算比值：
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} e^{-(n+1)x} \cdot \frac{n^n}{n!} e^{nx} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}} e^{-x} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} e^{-x} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} e^{-x} = e^{-1} \cdot e^{-x} = e^{-(x+1)}. \]

由比值判别法，当 \(\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} < 1\) 时级数收敛，即 \(e^{-(x+1)} < 1\)，这等价于 \(-(x+1) < 0\)，即 \(x > -1\)。当 \(x < -1\) 时级数发散。当 \(x = -1\) 时，比值的极限为 \(e^{0}=1\)，判别法失效，需单独判断。代入 \(x=-1\)，通项为 \(\frac{n!}{n^n} e^{n}\)，由斯特林公式 \(n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\)，得 \(\frac{n!}{n^n} e^{n} \sim \sqrt{2\pi n} \to \infty\)，不趋于0，故级数发散。因此收敛域为 \((-1, +\infty)\)，即 \(a = -1\)。

学生答案“0”与标准答案“-1”不符，因此本题得分为0分。

题目总分：0分