评分及理由

本题满分10分，学生作答包含两部分：求解微分方程（得到函数表达式）和求渐近线。标准答案的步骤也对应这两部分。下面根据学生的具体解答进行评分。

（1）微分方程求解部分（满分约6分）

学生正确识别为一阶线性微分方程，并使用了积分因子法求解。计算过程：

• 积分因子计算正确：\( e^{-\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx} = e^{-\sqrt{x}} \)。
• 代公式得到 \( y = e^{-\sqrt{x}} \left( \int (2+\sqrt{x}) e^{\sqrt{x}} dx + C \right) \)。
• 换元 \( t = \sqrt{x} \) 计算积分，过程基本正确，但中间分部积分步骤书写略有跳步（实际上合并后结果为 \( 2t^2 e^t \)），最终得到 \( \int (2+\sqrt{x}) e^{\sqrt{x}} dx = 2x e^{\sqrt{x}} + C_1 \)，代入后得 \( y = 2x + C e^{-\sqrt{x}} \)。
• 利用初始条件 \( y(1)=3 \) 解得 \( C = e \)，从而 \( y = 2x + e^{1-\sqrt{x}} \)。

整个求解过程逻辑完整，计算无误。尽管在积分计算时写法与标准答案略有不同（标准答案用了分部积分抵消的技巧，学生用了分部积分并合并），但结果正确，属于思路正确不扣分的情形。因此微分方程求解部分可得满分（6分）。

（2）渐近线求解部分（满分约4分）

学生正确分析了斜渐近线和铅直渐近线：

• 斜渐近线：计算 \( \lim_{x\to +\infty} \frac{y}{x} = 2 \)，\( \lim_{x\to +\infty} (y-2x) = 0 \)，从而得到斜渐近线 \( y=2x \)。计算过程正确。
• 铅直渐近线：指出定义域为 \([0,+\infty)\)，并说明不存在 \( x_0 \) 使极限为无穷，因此无铅直渐近线。分析正确。
• 学生未单独讨论水平渐近线，但由 \( \lim_{x\to +\infty} y = +\infty \) 可知无水平渐近线，这一结论隐含在分析中，不扣分。

渐近线部分解答完整且正确，可得满分（4分）。