评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确写出了二次型对应的矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \)，与标准答案一致。因此得4分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确求出了特征值 \( \lambda_1 = \lambda_2 = 0, \lambda_3 = 14 \)，并求出了对应的特征向量。虽然学生给出的属于特征值0的两个特征向量 \( \xi_1, \xi_2 \) 与标准答案不同，但它们是线性无关的，并且经过正交化后可以构成正交矩阵，思路正确。学生构造了正交矩阵 \( Q \)，并指出正交变换后的标准形为 \( 14y_3^2 \)，这与标准答案 \( 14y_1^2 \) 本质相同（只是变量下标顺序不同）。因此整体思路和结果正确，得4分。

注：学生计算特征向量时，在第二次识别结果中 \( Q \) 矩阵的第三行第二列写为 \( \frac{1}{\sqrt{42}} \)，而第一次识别为 \( \frac{3}{\sqrt{42}} \)，这可能是识别误差。根据第一次识别，该向量为 \( \frac{1}{\sqrt{42}}\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \)，其第三个分量是1，所以单位化后第三行应为 \( \frac{1}{\sqrt{42}} \)，因此第二次识别中的 \( \frac{1}{\sqrt{42}} \) 可能是正确的，不影响正交性。此外，学生将标准形写为 \( 14y_3^2 \)，而标准答案为 \( 14y_1^2 \)，这只是特征向量排列顺序不同，不扣分。

（3）得分及理由（满分4分）

学生试图通过标准形来求解 \( f=0 \)，但给出的解 \( X = k_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) 是错误的。正确的解应该是使得 \( y_3 = 0 \) 的所有 \( x \)，即 \( x = Q \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ 0 \end{pmatrix...