评分及理由

（1）最大似然估计量 \(\hat{\theta}\) 的推导（满分约7分）

学生答案中，概率密度函数书写正确，似然函数构造正确，取对数求导过程基本正确。在求导并令导数为零的步骤中，学生写出的求导结果为： \[ \frac{d\ln L(\theta)}{d\theta}=-\frac{n}{\theta}+\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_i}{\theta^2}-\frac{m}{\theta}+\frac{\sum_{j = 1}^{m}Y_j}{2\theta^2}=0 \] 这与标准答案中的方程 \(-\frac{m + n}{\theta} + \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\theta^2} + \frac{\sum_{j=1}^m y_j}{2\theta^2} = 0\) 是等价的（学生将 \(-\frac{m}{\theta}\) 和 \(-\frac{n}{\theta}\) 分开写了）。随后的代数求解过程也正确，最终得到： \[ \hat{\theta}=\frac{2\sum_{i = 1}^{n}X_i+\sum_{j = 1}^{m}Y_j}{m + n} \] 这与标准答案 \(\hat{\theta} = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i + \sum_{j=1}^m Y_j}{2(m + n)}\) 不一致。学生的分母是 \(m+n\)，而标准答案分母是 \(2(m+n)\)。这是一个关键的计算错误，导致估计量有误。此错误属于逻辑/计算错误，应扣分。考虑到前面推导思路完全正确，仅最后一步代数整理出错，扣3分。本部分得分：7 - 3 = 4分。

（2）方差 \(D(\hat{\theta})\) 的计算（满分约5分）

学生基于自己得出的错误估计量 \(\hat{\theta}=\frac{2\sum X_i+\sum Y_j}{m + n}\) 计算方差。其方差计算过程本身（应用方差性质、代入正确的总体方差 \(DX=\theta^2, DY=4\theta^2\)）逻辑正确，计算无误。但因其使用的估计量表达式错误，导致最终方差结果 \(D(\hat{\theta})=\frac{4\theta^2}{m + n}\) 也是错误的。此错误源于第(1)部分的错误，...