评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答存在关键逻辑错误，导致最终结果不正确。具体分析如下：

1. 思路起点正确：学生第一步使用分部积分，设 \(I = \frac{1}{2}\int \arctan\sqrt{e^{x}-1} de^{2x}\)，这与标准答案的思路一致，该部分不扣分。
2. 关键逻辑错误：在计算导数 \(d(\arctan\sqrt{e^{x}-1})\) 时，学生得出 \(du = \frac{1}{2\sqrt{e^{x}-1}}dx\)。这是错误的，正确的导数应为 \(\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}(1+(e^{x}-1))}dx = \frac{e^{x}}{2e^{x}\sqrt{e^{x}-1}}dx = \frac{1}{2\sqrt{e^{x}-1}}dx\)。然而，在后续代入分部积分公式时，学生写出的被积函数是 \(\frac{1}{2}\int e^{2x} \cdot \frac{e^{x}}{1+(e^{x}-1)} dx\)，并错误地将其简化为 \(\frac{1}{2}\int e^{2x} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}} dx = \frac{1}{2}\int e^{2x} dx\)。这里出现了严重的化简错误，因为 \(\frac{e^{x}}{1+(e^{x}-1)} = \frac{e^{x}}{e^{x}} = 1\)，但分母中漏掉了来自导数计算中本应存在的因子 \(\frac{1}{2\sqrt{e^{x}-1}}\)。学生实际上在步骤中丢失了 \(\frac{1}{\sqrt{e^{x}-1}}\) 这个关键因子，导致积分被错误地简化为 \(\int e^{2x} dx\)。这是一个核心的计算逻辑错误。
3. 结果错误：由于上述错误，最终积分结果 \(\frac{1}{2}e^{2x}\arctan\sqrt{e^{x}-1} - \frac{1}{4}e^{2x} + C\) 与标准答案不符。
4. 定义域讨论：学生对定义域的讨论（\(x \geq 0\)）本身合理，但这对解决积分问题并非关键，且其后续计算错误，故此部分不额外扣分也不加分。

该题为10分题。由于存在关键的计算逻辑错误，导致最终答案错误，不能给予满分。考虑到学生正确启动了分部积分法，但后续推...