评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答分为两次识别，但两次识别结果实质相同，均采用以下步骤：
1. 利用区域关于直线 \(y = x\) 对称，得到 \(\iint_D x \,dxdy = \iint_D y \,dxdy\)，从而将原积分化为 \(\iint_D 1 \,dxdy\)。
2. 将区域 \(D\) 用 \(x\) 型区域表示，并拆分为两个部分：一部分在直线 \(y = \frac{1}{3}x\) 与 \(y = \frac{1}{3x}\) 之间，另一部分在 \(y = 3x\) 与 \(y = \frac{3}{x}\) 之间。
3. 计算定积分得到最终结果 \(\frac{16}{3}\ln 3 - 11\frac{23}{27}\)。

然而，标准答案为 \(\frac{8}{3}\ln 3\)，学生答案与之不符。检查学生计算过程：
- 对称性使用正确。
- 区域划分存在错误。由曲线 \(xy = \frac{1}{3}\) 与 \(xy = 3\) 和直线 \(y = \frac{1}{3}x\) 与 \(y = 3x\) 围成的区域，在第一象限中，边界曲线与直线的交点需要仔细分析。实际上，区域 \(D\) 是由两条双曲线和两条直线围成的闭合区域，且整个区域位于第一象限。学生划分区域时，对于给定的 \(x\)，\(y\) 的下限和上限选择有误。正确描述应为：区域 \(D\) 在极坐标下处理更简便（如标准答案），或者用 \(x\) 型区域描述时，需根据交点确定 \(x\) 的范围和对应的 \(y\) 上下限关系。学生给出的上下限 \(\frac{1}{3x}\) 与 \(\frac{1}{3}x\) 以及 \(3x\) 与 \(\frac{3}{x}\) 并不能正确表示区域 \(D\)，导致积分区域错误，进而计算结果错误。

由于区域划分这一关键步骤出现逻辑错误，导致后续计算虽然过程完整，但结果错误。根据评分要求，逻辑错误需扣分。本题满分10分，扣除区域描述错误的分数。考虑到学生正确使用了对称性简化了被积函数，且计算过程规范，给予部分步骤分。

得分：4分（对称性使用正确得2分，计算过程规范但区域错误得2分，结果错误扣6分）。

题目总分：4分