评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确设定了中间变量 \(u = 2x + y\)，\(v = 3x - y\)，并计算了一阶和二阶偏导数。在计算 \(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}\)、\(\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}\) 和 \(\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}\) 时，虽然书写过程中出现了少量冗余项（如 \(6\frac{\partial^2 f}{\partial v \partial u}\) 等），但最终化简结果与标准答案一致。代入方程后正确得到 \(25\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = 1\)，从而得出 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = \frac{1}{25}\)。整个过程思路清晰，计算正确，故得满分。

得分：6分

（2）得分及理由（满分6分）

学生由 (1) 的结果 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = \frac{1}{25}\) 出发，正确写出 \(\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{25}v + \varphi_1(u)\)，并利用条件 \(\frac{\partial f(u,0)}{\partial u} = ue^{-u}\) 确定 \(\varphi_1(u) = ue^{-u}\)。接着对 \(u\) 积分得到 \(f(u,v) = \frac{1}{25}uv - ue^{-u} - e^{-u} + \varphi_2(v)\)，最后利用 \(f(0,v) = \frac{1}{50}v^2 - 1\) 确定 \(\varphi_2(v) = \frac{1}{50}v^2\)，最终表达式与标准答案完全一致（标准答案为 \(\frac{1}{25}uv - e^{-u}(u+1) + \frac{1}{50}v^2\)，学生答案为 \(\frac{1}{25}uv - ue^{-u} - e^{-u} + \frac{1}{50}v^2\)，两者等价）。过程完整无误...