评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答分为两次识别结果，但核心思路一致：利用积分区域关于 \(y = x\) 对称的性质，将原积分化简为 \(\iint_D 1 \, dxdy\)，即区域 \(D\) 的面积。这一思路是正确的，且与标准答案的第一步思路一致。

然而，学生在将面积积分化为累次积分时，对积分区域的划分和积分上下限的设置出现了严重错误。具体来说：

• 学生将区域 \(D\) 错误地划分为两个部分，并设置了错误的积分限（例如 \(\int_{\frac{1}{3}}^{3}dx\int_{\frac{1}{3x}}^{\frac{1}{3}x}1dy\) 和 \(\int_{\frac{1}{3}}^{3}dx\int_{3x}^{\frac{3}{x}}1dy\)），这导致后续计算完全偏离了正确区域。实际上，由曲线 \(xy = \frac{1}{3}, xy = 3\) 和直线 \(y = \frac{1}{3}x, y = 3x\) 围成的区域在第一象限是一个“曲边四边形”，在直角坐标系下需要正确找到交点并分段处理，或者如标准答案采用极坐标变换。学生的划分方式不符合区域 \(D\) 的实际形状，因此整个计算过程从积分限开始就是错误的。
• 尽管学生后续的积分计算过程（代入上下限、求原函数、数值计算）在算术上没有明显错误，但由于积分区域设置错误，最终结果 \(\frac{16}{3}\ln 3 - 11\frac{23}{27}\) 与标准答案 \(\frac{8}{3}\ln 3\) 不符。

根据打分要求：

• 思路正确（利用对称性化简）不扣分，但后续逻辑错误（积分区域划分错误）需要扣分。
• 本题满分10分，由于核心计算步骤（积分限设置）存在逻辑错误，且导致最终结果错误，不能给满分。
• 考虑到学生正确使用了对称性化简，且计算过程本身完整，给予部分分数。

综合评定，本题得分为 4分（思路正确得2分，计算过程完整但基于错误区域得2分，结果错误扣4分）。

题目总分：4分