评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，利用变换 \(x = e^t\) 正确推导了复合函数的一阶和二阶导数，并代入原方程化简得到常系数线性齐次微分方程 \(\frac{d^2y}{dt^2} - 9y = 0\)，求解得到通解 \(y = C_1 x^3 + C_2 x^{-3}\)。代入初始条件 \(y(1)=2, y'(1)=6\) 后，正确解得 \(C_1=2, C_2=0\)，从而得到 \(y(x)=2x^3\)。整个推导过程逻辑清晰，计算正确，与标准答案一致。因此，第（1）问得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中，将积分 \(\int_{1}^{2} 2x^3 \sqrt{4-x^2} dx\) 通过三角代换 \(x = 2\sin t\) 进行求解，代换过程正确，积分上下限变换正确（\(x=1\) 时 \(t=\frac{\pi}{6}\)，\(x=2\) 时 \(t=\frac{\pi}{2}\)），被积函数化为 \(32 \sin^3 t \cos^2 t dt\)。然而，学生给出的最终积分结果为 \(\frac{11}{20}\sqrt{3}\)，这与标准答案 \(\frac{22}{5}\sqrt{3}\) 不一致。经核对，标准答案中代换为 \(t = \sqrt{4-x^2}\)，两种方法均可行，但学生的三角代换计算过程存在计算错误（例如系数化简或积分计算有误），导致结果不正确。因此，第（2）问因最终结果错误，扣除相应分数。考虑到思路正确且代换步骤无误，但计算错误，扣3分，得3分。

题目总分：6+3=9分