评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中两次识别结果均正确计算了二阶偏导数并代入方程得到 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = \frac{1}{25}\)。虽然第一次识别在计算 \(\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}\) 时中间步骤有笔误（如出现“+10\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v}”），但最终化简结果与标准答案一致，且第二次识别过程完全正确。根据“思路正确不扣分”及“误写导致的逻辑错误不扣分”原则，不扣分。得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确利用 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = \frac{1}{25}\) 积分得到 \(\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{25}v + \varphi_1(u)\)，并结合条件 \(\frac{\partial f(u,0)}{\partial u} = ue^{-u}\) 确定 \(\varphi_1(u)\)。随后对 \(u\) 积分得到 \(f(u,v)\) 表达式，并利用 \(f(0,v) = \frac{1}{50}v^2 - 1\) 确定积分常数函数 \(\varphi_2(v)\)。最终结果与标准答案一致（标准答案为 \(f(u,v) = \frac{1}{25}uv - e^{-u}(u+1) + \frac{1}{50}v^2\)，学生答案为 \(\frac{1}{25}uv - ue^{-u} - e^{-u} + \frac{1}{50}v^2\)，两者等价）。过程完整正确，得6分。

题目总分：6+6=12分