评分及理由

（1）求 \(f(x)\) 部分（满分约5分）

学生正确运用了代换 \(x=a\) 和 \(x=1/a\) 得到两个方程，并消元解得 \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)，与标准答案一致。第一次识别中方程②的分子写成了 \(\frac{x+2x^2}{\sqrt{1+a^2}}\)（应为 \(\frac{1/a^2+2/a}{\sqrt{1+1/a^2}}\)），但第二次识别已修正为正确形式，且最终结果正确。根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，此处不扣分。得5分。

（2）求旋转体体积部分（满分约5分）

学生思路是使用圆盘法（切片法）沿 x 轴方向积分，但积分上下限和表达式有误。正确曲线为 \(y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)，由 \(y=1/2\) 和 \(y=\sqrt{3}/2\) 解得对应 \(x=1/\sqrt{3}\) 和 \(x=\sqrt{3}\)。学生积分限取 \(0\) 到 \(\sqrt{3}\) 和 \(0\) 到 \(1\)，对应的是 \(y=1/2\) 和 \(y=\sqrt{3}/2\) 吗？实际上 \(y=1/2\) 时 \(x=1/\sqrt{3}\approx0.577\)，\(y=\sqrt{3}/2\) 时 \(x=\sqrt{3}\approx1.732\)。学生用 \(0\) 到 \(\sqrt{3}\) 和 \(0\) 到 \(1\) 的差，相当于求了 \(y=\sqrt{3}/2\) 与 x 轴之间的旋转体减去 \(y=1/2\) 与 x 轴之间的旋转体，但这里被积函数写成了 \(\pi\left(\frac{3}{4}-\frac{x^2}{1+x^2}\right)\) 等，这其实是 \(\pi\left[(\sqrt{3}/2)^2 - (f(x))^2\right]\) 吗？检查：\(f(x)^2 = \frac{x^2}{1+x^2}\)，\((\sqrt{3}/2)^2=3/4\)，\((1/2)^2=1/4\)，所以学生写的被积函数形式正确，但积分上下限应为 \(x\) 的范围，即从 \(x=1/\sqrt{3}\) 到 \(x=\sqrt{3}\) 的 \(\pi[(3/4)-f(x)^2]dx\)，而不是两个从0开始的积分...