评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分10分。学生作答给出了两种识别结果，核心思路是转化为先对y后对x的二次积分，然后对y的积分通过变量代换 \(\frac{y}{x} = \tan\theta\) 进行化简。这一思路是正确的。

然而，学生的计算过程在关键步骤上出现了逻辑错误：

1. 在第一次识别结果中，从 \(\int_{0}^{x}\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}dy\) 到 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}x\frac{1}{\cos^{3}\theta}d\theta\) 的推导过程缺失，直接给出了结果，这属于关键步骤缺失。
2. 在第二次识别结果中，推导过程相对完整，但最终结果停留在 \(\int_{1}^{2}xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^{3}\theta}d\theta\)。这个表达式虽然正确，但并未完成最终的计算。题目要求计算二重积分的值，而学生作答止步于将二重积分化为两个单积分的乘积，并未计算出具体的数值结果。这是一个严重的逻辑不完整错误，因为解答过程只完成了一半。

根据打分要求，对于有逻辑错误的答案不能给满分。学生的主要错误在于解答过程不完整，未得出最终答案。考虑到其思路正确，且完成了从二重积分到累次积分再到变量代换的关键步骤，但未完成积分计算，应扣除大部分分数。

给予 4分。扣分点：未完成最终计算，解答不完整（扣6分）。

题目总分：4分