评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答为“1”，与标准答案一致。

该题考察二次型在正交变换下的标准形。原二次型矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] 经正交变换后化为 \(y_1^2 + 4z_1^2 = 4\)，即标准形为 \(y_1^2 + 4z_1^2 + 0 \cdot x_1^2 = 4\)，故特征值为 \(1, 4, 0\)。

矩阵 \(A\) 的迹等于特征值之和：\(1+3+1 = 1+4+0\)，即 \(5=5\)，恒成立。

矩阵 \(A\) 的行列式等于特征值之积：\(\det(A) = 1 \times 4 \times 0 = 0\)。

计算 \(\det(A)\)： \[ \det(A) = 1 \cdot (3\times1 - 1\times1) - a \cdot (a\times1 - 1\times1) + 1 \cdot (a\times1 - 3\times1) = (3-1) - a(a-1) + (a-3) = 2 - a^2 + a + a - 3 = -a^2 + 2a -1 \] 令其等于0：\(-a^2+2a-1=0\)，即 \(a^2-2a+1=0\)，解得 \(a=1\)。

学生答案正确，得满分4分。

题目总分：4分