评分及理由

（1）对函数定义与导数的处理（满分2分）

学生正确定义了 \(f(x)=k\arctan x - x\)，并计算了导数 \(f'(x)=\frac{k}{1+x^2}-1\)，与标准答案一致。此处得2分。

（2）对参数 \(k \leq 1\) 情形的讨论（满分3分）

学生指出当 \(k \leq 1\) 时 \(f'(x) \leq 0\)，函数单调递减，并得出在 \(x>0\) 时无零点，但在第一次识别中说“\(f(x)\) 无零点”，第二次识别中说“在 \(x\in(0,+\infty)\) 上只有唯一实根 \(x=0\)”，这里存在矛盾且未完整说明 \(x=0\) 是根以及在整个实数轴上的情况。标准答案明确说明此时方程仅有一个实根 \(x=0\)。学生虽然提到了 \(f(0)=0\)，但未明确总结出整个实数轴上只有一个根，且讨论局限于 \(x>0\)，逻辑不完整。扣1分，得2分。

（3）对参数 \(k > 1\) 情形的讨论（满分5分）

学生正确求出驻点 \(x=\sqrt{k-1}\)，并分析了单调区间：在 \((0,\sqrt{k-1})\) 上 \(f'(x)>0\)，在 \((\sqrt{k-1},+\infty)\) 上 \(f'(x)<0\)。指出 \(f(\sqrt{k-1}) > f(0)=0\) 且 \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)，从而得出在 \((0,+\infty)\) 上有且仅有一个零点（正根）。这部分正确，得3分。

但是，学生在最后结论中说“有三个实根，一个为 \(x=0\)，一个位于 \((0,+\infty)\) 内，一个位于 \((-\infty,0)\) 内”，这是错误的。标准答案指出在 \(k>1\) 时，实际上只有两个实根：\(x=0\) 和一个正根，在负半轴没有额外实根（因为 \(f(-\sqrt{k-1})<0\) 且 \(f(0)=0\)，结合单调性可知在 \((-\infty,-\sqrt{k-1})\) 上无零点）。学生未分析负半轴的单调性与函数值，直接错误地推断有三个根，属于逻辑错误。扣2分，本部分得3分。

题目总分：2+2+3=7分