评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分约4分）

学生给出了正确的似然函数，取对数后求导，但求导结果出现错误：标准答案为 \(\frac{d\ln L}{d(\sigma^2)} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^4}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_0)^2\)，而学生写成了 \(-\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2} + \frac{\sum (x_i-\mu_0)^2}{2\sigma^4}\)，多了一个常数项 \(\frac{1}{2}\)，这是明显的求导错误。不过最终解出的 \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i-\mu_0)^2\) 是正确的，且与标准答案一致。考虑到核心结果正确，但推导过程中有一步关键运算错误，应适当扣分。本题（Ⅰ）部分通常占约4分（按总分11分分配，一般（Ⅰ）占4-5分），此处扣1分。

得分：3分

（Ⅱ）得分及理由（满分约7分）

学生正确写出了 \(E(\hat{\sigma}^2) = \frac{1}{n} E[\sum (X_i-\mu_0)^2]\)，并利用 \(\sum \frac{(X_i-\mu_0)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)\) 得出 \(E(\hat{\sigma}^2) = \sigma^2\)，这部分正确。

计算方差时，学生思路正确：利用卡方分布方差为 \(2n\)，得到 \(D(\hat{\sigma}^2) = \frac{\sigma^4}{n^2} D\left( \sum \frac{(X_i-\mu_0)^2}{\sigma^2} \right) = \frac{2\sigma^4}{n}\)，结果与标准答案一致。

但在第一次识别结果中，中间出现混乱的表达式：\(\frac{n}{\sigma^2}D((x_i-\mu_0)^2) = 2n\) 和 \(D(\hat{\sigma}^2)=D(\frac{1}{n^{2}}D(\sum (x_i-\mu_0)^{2}))\) 等，明显是书写或识别混乱，但第二次识别结果中推导基本清晰正确。根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，不因第一次识别中的混乱扣分。

因此（Ⅱ）部分完全正确。