评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确建立了微分方程 \(x = y - xy'\)，并转化为一阶线性方程 \(y' - \frac{1}{x}y = -1\)，求解得到通解 \(y = x(C - \ln x)\)，再利用初始条件 \(y(e^2)=0\) 确定常数 \(C=2\)，最终得到正确结果 \(y(x) = x(2 - \ln x)\)。过程清晰，计算正确。虽然第一次识别中“代回 \((e^{2},0)\) 得 \(0=x(c - 2)\)” 写成了 \(x\) 而不是 \(e^2\)，但第二次识别中已更正为 \(0 = e^{2}(C - 2)\)，且不影响最终结果，可视为识别误差。因此，本小题得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生在第（2）问中思路正确，先求导 \(y' = 1 - \ln x\)，并试图表示切线与坐标轴的交点以计算面积。但在具体推导面积表达式时出现严重错误：

• 切线在 y 轴截距应为 \(y - xy' = x\)（由（1）结论直接可得），但学生写成了复杂的表达式 \(x = y - \frac{1}{1 - \ln x}x = \cdots\)，这步推导逻辑混乱。
• 面积公式 \(S = \frac{1}{2}|y||x|\) 不正确，应为 \(S = \frac{1}{2} \cdot |X截距| \cdot |Y截距|\)。
• 后续代入化简得到的面积表达式 \(\frac{1}{2}(1 - \ln x)\frac{(1 - 3\ln x-\ln^{2}x)}{(1 - \ln x)}x\) 明显错误，且未完成求解最小值的步骤。

因此，本小题虽有开头思路，但核心推导错误，未能得到正确面积函数，也未完成最值求解。应扣去大部分分数。考虑到学生正确求出了导数 \(y' = 1 - \ln x\)，给予1分。

题目总分：5+1=6分