评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答整体思路正确，采用了极坐标变换，正确确定了积分区域和积分限，并最终得到了与标准答案一致的结果 \(\frac{\sqrt{3}\ln 2}{24}\pi\)。

具体过程分析：

1. 区域与坐标变换：学生正确识别出区域由两条曲线和两条直线围成，并给出了极坐标变换。在第一次识别结果中，曲线方程转换时写为 \(r^{2}=\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\)，这与标准答案 \(r^{2}=\frac{1}{1-\cos\theta\sin\theta}\) 在形式上不同，但结合上下文（后续计算中分母出现了 \(\sqrt{\sin\theta\cos\theta}\)）可以判断，此处应为识别错误，实际意图是 \(r^{2}=\frac{1}{1-\sin\theta\cos\theta}\)。由于题目要求对识别错误导致的逻辑问题不扣分，且第二次识别结果中明确写出了正确的推导过程 \(r^{2}-r^{2}\sin\theta\cos\theta = 1 \Rightarrow r^{2}(1-\sin\theta\cos\theta)=1\)，因此不视为逻辑错误。
2. 积分计算：学生正确将二重积分化为极坐标下的累次积分，内层对 \(r\) 的积分结果为 \(\ln\sqrt{2}\)，外层对 \(\theta\) 的积分通过变量代换 \(t=\tan\theta\) 正确求解。
3. 最终结果：计算过程和最终答案完全正确。

因此，尽管第一次识别结果的中间表达式存在笔误（如将 \(3\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta\) 误写为 \(3\cos\theta + \sin\theta\)，以及后续步骤中的一些符号混乱），但根据“禁止扣分”原则，这些属于识别错误或笔误，且核心逻辑和最终答案正确。第二次识别结果提供了清晰、完整且正确的解答过程。

综上，该题作答正确，给予满分12分。

题目总分：12分