评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1”。

该极限的正确计算过程如下：

令 \( L = \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right)^{\frac{1}{\ln x}} \)。
取自然对数：
\[ \ln L = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln\left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right)}{\ln x} \]
当 \( x \to +\infty \) 时，\( \frac{\pi}{2} - \arctan x \to 0^+ \)，且 \( \ln x \to +\infty \)，故为 \( \frac{-\infty}{+\infty} \) 型未定式，可应用洛必达法则。
求导：
分子导数：\( \frac{d}{dx} \ln\left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right) = \frac{ - \frac{1}{1+x^2} }{ \frac{\pi}{2} - \arctan x } = \frac{-1}{(1+x^2)\left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right)} \)
分母导数：\( \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \)
因此，
\[ \ln L = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{ \frac{-1}{(1+x^2)\left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right)} }{ \frac{1}{x} } = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{-x}{(1+x^2)\left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right)} \]
注意到当 \( x \to +\infty \) 时，\( \frac{\pi}{2} - \arctan x \sim \frac{1}{x} \)（因为 \( \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \)，所以 \( \frac{\pi...