评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答中包含了第21题（即题目要求的二重积分计算）和第22题（一个一阶线性微分方程求解）。题目仅要求计算二重积分，即第21题部分。学生的第21题解答过程与标准答案思路完全一致：正确将曲线方程转换为极坐标形式 \( r^2 = \cos 2\theta \)，正确确定积分区域 \(\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]\)，正确写出极坐标下的积分表达式 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta \int_{0}^{\sqrt{\cos 2\theta}} r^3 \cos\theta \sin\theta dr\)，并正确完成了积分计算，最终得到结果 \(\frac{1}{48}\)。虽然第一次识别结果中出现了“\((\cos^{2}\theta\sin\theta)^{2}\)”这样的笔误（应为 \((\cos 2\theta)^2\)），但根据上下文和第二次识别的清晰、正确的完整过程，可以判断为识别错误或笔误，不影响核心逻辑。因此，本题解答完全正确。

得分：12分。

题目总分：12分