2026年合工大超越5+5套卷（一） - 第17题回答

好的，我们先一步步分析学生的作答。 --- ## 第一步：分析第（Ⅰ）问 **标准答案思路**： 原方程 \[ \int_1^{xy} f(t)\,dt = y^2 \int_1^x f(t)\,dt + x^2 \int_1^y f(t)\,dt \] 两边对 \(x\) 求偏导（视 \(y\) 为常数）得 \[ y f(xy) = y^2 f(x) + 2x \int_1^y f(t)\,dt \] 再令 \(x=1\)，利用 \(f(1)=3\) 得到一个关于 \(y\) 的积分方程，再求导得到一阶线性微分方程，解出 \(f(x)=6x\ln x+3x\)。 --- **学生作答**（第 2 次识别结果）： 学生先对原方程两边对 \(y\) 求导（视 \(x\) 为常数）： \[ x f(xy) = 2y \int_1^x f(t)\,dt + x^2 f(y) \] 这一步是正确的（注意原方程右边第二项对 \(y\) 求导是 \(x^2 f(y)\)，学生写的是 \(x^2 \int_1^y f(t)dt\) 吗？检查学生原文： > 已知等式两边对 \(y\) 求导得 \(xf(xy)=2y\int_{1}^{x}f(t)dt + x^{2}\int_{1}^{y}f(t)dt\) 这里学生写的是 \(x^2 \int_1^y f(t)dt\)，这是错误的，对 \(y\) 求导时，\(\int_1^y f(t)dt\) 的导数是 \(f(y)\)，不是 \(\int_1^y f(t)dt\)。 所以学生求导结果写错了一个符号，把 \(f(y)\) 误写成了 \(\int_1^y f(t)dt\)，这导致后续代入 \(y=1\) 时得到错误的方程。 --- 代入 \(y=1\) 时，学生得到： \[ x f(x) = 2 \int_1^x f(t)dt + x^2 \int_1^1 f(t)dt \] 最后一项积分是 0，所以学生得到 \[ x f(x) = 2 \int_1^x f(t)dt \] 这一步在学生的错误求导下反而“碰巧”得到了一个与标准答案中令 \(x=1\) 后得到的方程不同的方程，但标准答案中令 \(x=1\) 得到的是 \[ y f(y) = 3y^2 ...

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