评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确写出偏导数，通过积分得到 \(f(x,y) = x^3 - 3x^2y + 3y^2x + \varphi(y)\)，并利用另一偏导确定 \(\varphi(y) = -2y^3 + 6y\)，最终得到 \(f(x,y) = x^3 - 2y^3 + 6y - 3x^2y + 3y^2x\)。此结果与标准答案 \(f(x,y) = (x-y)^3 - y^3 + 6y\) 等价（展开后相同），且代入 \(f(0,0)=0\) 满足。过程逻辑正确，计算无误。得6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确求出区域内驻点 \((\sqrt{2},\sqrt{2})\)，并计算函数值 \(4\sqrt{2}\)。但在边界 \(L_3: x+y=3\) 上，使用拉格朗日乘数法时，解方程出现错误：由方程组消去 \(\lambda\) 后应得 \(3(x-y)^2 = -3(x^2-2xy+2y^2-2)\)，代入 \(y=3-x\) 求解，但学生得到 \(x=\frac{5}{3}, y=\frac{10}{3}\)，该点不满足 \(x+y=3\)（因为 \(\frac{5}{3}+\frac{10}{3}=5 \neq 3\)），且计算 \(f(\frac{5}{3},\frac{10}{3})=\frac{475}{3}\) 有误（实际代入正确表达式应得负值）。此外，学生遗漏了边界 \(L_1\)（\(x=0\)）、\(L_2\)（\(y=0\)）上的驻点及端点 \((0,3),(3,0)\) 的考察，导致最值判断错误（最大最小值均错）。因此，本部分存在严重逻辑错误和计算错误，扣分较多。但考虑到正确求出了区域内驻点并计算了其函数值，给予部分步骤分。扣4分，得2分。

题目总分：6+2=8分