评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答的整体思路是正确的：利用积分区域关于y轴的对称性简化被积函数，然后转换为极坐标进行计算。具体步骤分析如下：

1. 对称性应用：学生正确指出区域D关于y轴对称，并将被积函数拆分为(x²+1)和2x。认识到2x是关于x的奇函数，其积分为0，这是正确的。但学生表述“x²+1为偶函数”无误，然而在后续步骤中，他将原式写为“2∬_{D₁}(x²+1)dxdy”，这里D₁被定义为D中x>0的部分。利用偶函数对称性，∬_{D}(x²+1)dxdy = 2∬_{D₁}(x²+1)dxdy，这个思路完全正确。
2. 极坐标转换：学生正确地将区域D的方程x²+y² ≤ 2y转化为极坐标r ≤ 2sinθ。由于他限定了x>0（即D₁），所以θ的范围是[0, π/2]，这也是正确的。积分表达式2∫_{0}^{π/2} dθ ∫_{0}^{2sinθ} r(r²cos²θ+1) dr 的建立无误。
3. 积分计算：学生计算了内层对r的积分，得到结果为4sin⁴θcos²θ + 2sin²θ。这一步计算正确。外层积分他写到了“4∫_{0}^{π/2}(2sin⁴θcos²θ + sin²θ)dθ”这一步，但没有计算出最终的数值结果。

扣分点分析：

• 题目要求计算出一个具体的数值答案（5π/4）。学生的解答在最后一步停止了，没有完成定积分的计算，没有得到最终结果。这是一个未完成解答的逻辑错误。根据打分要求，对于逻辑错误需要扣分。
• 考虑到本题满分11分，核心的对称性分析、坐标变换、积分式建立都已完成且正确，仅差最后的数值计算。这属于部分完成。

给分：扣除未得出最终结果的分值。鉴于前面步骤几乎全部正确，且计算量主要集中在外层三角积分，扣分不宜过重。给予9分。

题目总分：9分