评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

本题满分11分。学生作答整体思路正确，从切线、法线方程出发，得到关系式 \( -xy' + y = yy' + x \)，进而推导出微分方程 \( y' = \frac{y-x}{y+x} \)，然后通过变量代换 \( u = \frac{y}{x} \) 求解，并利用初始条件 \( y(1)=0 \) 确定常数。这些关键步骤与标准答案一致。

但在求解微分方程的过程中，学生写出的分离变量步骤存在一处明显的逻辑错误：

• 从 \( \frac{u-1}{u+1} = u'x + u \) 整理得到 \( \frac{u+1}{u-1-u(u+1)} du = \frac{1}{x} dx \) 这一步是错误的。正确的整理应为 \( u'x = \frac{u-1}{u+1} - u = \frac{u-1 - u(u+1)}{u+1} = \frac{-1-u^2}{u+1} \)，即 \( \frac{u+1}{1+u^2} du = -\frac{1}{x} dx \)。学生的表达式 \( \frac{u+1}{u-1-u(u+1)} \) 分母化简后应为 \( -1-u^2 \)，但书写形式容易引起混淆，且后续积分对象不一致（第一次识别中写为 \( -\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^{2} + 1}du^{2} - \int\frac{1}{1 + u^{2}}du \)，第二次识别中写为 \( -\frac{1}{2}\int\frac{1}{u + 1}du-\int\frac{1}{1 + u^2}du \)），均与正确路径有偏差。不过，学生最终积分得到的结果 \( -\frac{1}{2}\ln(u^2 + 1) - \arctan u = \ln x + C \) 是正确的（与标准答案等价，仅符号和常数位置差异）。这表明学生在分离变量或积分过程中可能存在笔误或识别错误，但核心的积分结果正确。

根据“禁止扣分”原则，对于识别中可能存在的字符错误（如积分表达式）或由误写导致的逻辑不一致，若最终结果正确，可不扣分。但此处分离变量步骤的错误属于推导过程中的逻辑错误，并非单纯的字符误识别，因此应适当扣分。

考虑到学生最终得到了与标准答案等价的正确隐式方程（可化为 \( \a...