评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生答案：

1. 正确指出由 α₃ = α₁ + 2α₂ 可得 A 的列向量线性相关，从而 |A| = 0，因此 0 是 A 的一个特征值。
2. 正确利用 A 有三个不同特征值，说明 A 可相似对角化，且对角矩阵 Λ 的形式为 diag(0, λ₁, λ₂)（其中 λ₁, λ₂ 非零且互异）。
3. 由 r(Λ) = 2 推出 r(A) = 2。

但学生在书写对角矩阵时，第一次识别结果中写为 \(\begin{pmatrix}0&\lambda_1\\&\lambda_2\end{pmatrix}\)，第二次识别结果中写为 \(\begin{pmatrix}0&\\&\lambda_1&\\&&\lambda_2\end{pmatrix}\)，后者正确，前者矩阵写法不规范（缺失对角元位置）。根据“禁止扣分”原则，这种不规范可能是识别误差，且核心逻辑正确，因此不扣分。

整体思路与标准答案一致，逻辑完整，故得满分。

得分：5分

（II）得分及理由（满分6分）

学生答案：

1. 由 r(A)=2 得出 Ax=0 的基础解系含 1 个解向量。
2. 由 α₃ = α₁ + 2α₂ 得出 (1,2,-1)ᵀ 是 Ax=0 的解，并作为基础解系。
3. 由 β = α₁+α₂+α₃ 得出 (1,1,1)ᵀ 是 Ax=β 的一个特解。
4. 给出通解形式 \(k\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\)。

步骤完整，与标准答案一致。第二次识别中“X = k...”的写法虽与常见符号（通常用 x）略有差异，但属于识别或书写习惯问题，不影响逻辑。

得分：6分

题目总分：5+6=11分