评分及理由

本题满分11分，学生作答整体思路正确，但在正交化步骤中存在逻辑错误，具体评分如下：

（1）求参数 a 的值得分及理由（满分2分）

学生正确写出二次型矩阵 A，并根据标准型为 λ₁y₁² + λ₂y₂² 推出 |A| = 0，进而计算行列式得到 a = 2。此部分完全正确，得2分。

（2）求特征值得分及理由（满分3分）

学生正确计算特征多项式 |λE - A| = 0，并正确解得特征值 λ₁ = 0，λ₂ = -3，λ₃ = 6。此部分完全正确，得3分。

（3）求正交矩阵 Q 得分及理由（满分6分）

学生正确求出了属于三个特征值的特征向量：ξ₁ = (1,2,1)ᵀ，ξ₂ = (1,-1,1)ᵀ，ξ₃ = (-1,0,1)ᵀ。这三个向量本身已经两两正交（验证可知内积均为0），因此只需分别单位化即可构成正交矩阵 Q。但学生在第4步“单位正交化”中，对 ξ₂ 进行了多余的施密特正交化操作（写为 η₂ = ξ₂ - (ξ₁,ξ₂)/(ξ₁,ξ₁) ξ₁），并声称结果仍为 (1,-1,1)ᵀ。实际上，由于 ξ₁ 与 ξ₂ 正交，该步骤确实不会改变 ξ₂，但此表述容易引起误解，且计算过程存在冗余。然而，最终给出的单位化向量 η₁、η₂、η₃ 的数值是正确的，且由它们构成的矩阵 Q 是正交矩阵（列向量为单位正交向量组）。因此，主要结果正确，但过程存在一处不必要的冗余步骤。考虑到该冗余步骤未导致最终结果错误，且最终 Q 正确，扣1分。此部分得5分。

题目总分：2+3+5=10分