评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生答案为“0”。

首先，我们需要计算二次型的矩阵并确定其正惯性指数。二次型为：

\( f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3} \)

对应的对称矩阵为：

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

计算矩阵 \( A \) 的特征值以确定惯性指数。特征多项式为：

\( |A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 3-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} \)

通过计算（例如，将第二行减去第一行，或将第三行减去第一行），可得：

\( |A - \lambda I| = -\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 4) \)

因此，特征值为 \( \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 4 \)。

正特征值的个数为2（即1和4），所以正惯性指数为2。

标准答案为2，而学生答案为0，这是一个完全错误的答案。因此，本题得分为0分。

题目总分：0分