评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答分为两次识别结果，但两次结果本质相同，均存在关键错误。具体分析如下：

第一步求一阶偏导数 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial z}{\partial y}\) 时，第一次识别结果中 \(\frac{\partial z}{\partial x} = yf_{1}' + yg'(x)f_{2}'\) 正确，\(\frac{\partial z}{\partial y} = xf_{1}' + g(x)f_{2}'\) 正确。第二步求二阶混合偏导数 \(\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}\) 时，学生选择对 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 再对 \(y\) 求偏导，思路正确。但在具体计算中，学生写出了错误且混乱的表达式（第一次识别结果中出现了重复项和错误项，第二次识别结果中表达式为 \(\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{1}'+g(x)f_{2}'+yf_{11}''+yg(x)f_{12}''+xyf_{21}''+xyg(x)f_{22}''\)），该表达式存在逻辑错误：对 \(\frac{\partial z}{\partial x} = yf_{1}' + yg'(x)f_{2}'\) 关于 \(y\) 求偏导时，应将 \(f_1'\) 和 \(f_2'\) 视为关于中间变量 \(u=xy\) 和 \(v=yg(x)\) 的函数，因此对 \(y\) 求导时，\(f_1'\) 和 \(f_2'\) 本身也要求导（链式法则）。学生表达式中的 \(g(x)f_{2}'\) 项是凭空多出的，且 \(f_{11}'', f_{12}'', f_{21}'', f_{22}''\) 的系数完全错误，这表明学生对多元复合函数求导的链式法则掌握不牢固，导致了根本性的计算逻辑错误。

尽管后续正确利用了 \(g'(1)=0\) 和 \(g(1)=1\) 的条件，但由于二阶偏导表达式本身错误，代入后得到的结果 \(\left.\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}...