评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答存在根本性逻辑错误。题目给出的条件是 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\)，学生直接将其积分得到 \(\alpha = y + C\)，这是错误的。因为 \(\frac{d\alpha}{dx}\) 和 \(\frac{dy}{dx}\) 都是关于 \(x\) 的函数，对等式 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\) 积分，得到的是 \(\alpha = y + C\) 吗？这只有在将 \(y\) 视为自变量时才成立，但这里 \(y\) 是 \(x\) 的函数，所以积分应为 \(\alpha = y + C\) 吗？实际上，对 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\) 关于 \(x\) 积分，得到的是 \(\alpha = y + C\)，但这里 \(\alpha\) 和 \(y\) 都是 \(x\) 的函数，所以这个积分在数学上是正确的。然而，学生后续的推导基于 \(\alpha = y + \frac{\pi}{4}\)，这实际上跳过了建立正确微分方程的关键步骤。标准答案中，通过 \(\tan \alpha = y'\) 和 \(\frac{d\alpha}{dx} = y'\) 推导出 \(y'' = y' + (y')^3\)，这是一个二阶微分方程。学生直接从 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\) 积分得到 \(\alpha = y + C\)，并利用初始条件确定常数，这相当于假设了 \(\alpha\) 和 \(y\) 之间存在线性关系，但题目条件并没有直接给出这个关系，这个关系是需要通过微分方程推导出来的。学生的做法本质上是将 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\) 视为可分离变量的微分方程 \(\frac{d\alpha}{dy} = 1\)，从而得到 \(\alpha = y + C\)。但这里 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\) 不能直接推出 \(\frac{d\alpha}{dy} = 1\)，因为 \(\frac{d\alpha}{dy} = \frac{...